fungsi pembangkit moment

Fungsi Pembangkit Momen

M_x (t)=(e^βt-e^αt)/t(β-α)   ;t ≠0
=1 ;t=0
Bukti
Berdasarkan definisi fungsi pembangkit momen kontinu maka :
M_x (t)=∫_(-∞)^∞▒e^tx .f(x)  dx
= ∫_(-∞)^α▒〖e^(tx )∙f(x)dx+∫_α^β▒〖e^tx∙f(x)dx+∫_β^∞▒〖e^tx∙f(x)dx〗〗〗
=∫_(-∞)^α▒〖e^tx∙0 dx+∫_α^β▒〖e^tx∙  1/(β-α)〗〗  dx+ ∫_β^∞▒〖e^tx∙0 dx〗
=0+1/(β-α) ([□(1/t) e^tx ]^β x=a)+0
=  (e^βt-e^αt)/(t(β-α));t≠0
Untuk t  = 0 digunakan dalil L’Hospital yaitu :
lim┬(t→0)⁡〖M_x (t)=lim┬(t→0)⁡〖(e^βt-e^αt)/(t (β-α))〗 〗
=lim┬(t→0)⁡〖(〖β∙e〗^βt-〖α∙e〗^αt)/(t (β-α))〗
=(β-α)/(β-α)
=1
Jadi 〖 M〗_x (t)=(e^βt-e^αt)/t(β-α)   ;t ≠0
 =1 ;t=0 (terebukti)
Contoh :
Diketahui X : U (5,2)
Tentukan Fkp, fd dan fpm dari X
Hitung rataan, variabel dan simpangan baku dari X
 
Penyelesaian :
Dalam hal ini a=-5,β=2, maka Fkp dari X adalah
f(x)=□(1/7),-5<x<2
=0,lainnya
Misalkan F fungsi distribusi dari X, maka F(x)=P[X≤x]=∫_(-x)^x▒〖f(t)〗 dt
Untuk  x≤-5
F(x)=∫_(-x)^(-5)▒0 dt
=0
Untuk  -5<x<2
F(x)=∫_(-x)^(-5)▒〖0 dt+∫_(-5)^x▒〖1/7 dt〗〗
=├ 1/7┤|_(-5)^x
=1/7  (x+5)
Untuk x≥2
F(x)=∫_(-x)^(-5)▒〖0 dt+∫_(-5)^2▒〖1/7 dt+∫_2^∞▒〖0 dt〗〗〗
=1
Jadi F(x)=0∶X≤-5
=1/7  (x+5); -5,x,2
=1∶X≥2
M_x (t)=E[e^2x ]=  1/7 ∫_(-5)^2▒〖e^2x dx〗
=├ 1/7 e^2x ┤|_(-5)^x
=(e^2t-e^(-2t))/7t
μ=1/2 (α+β)=1/2 (-5+2)
=(-3)/2
σ^2=1/12 〖(β-α)〗^2
σ^2=1/12 〖(-5-2)〗^2
σ=√49/√12
 =7/√12